THEORY OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

EARL A. CODDEVGTON
Assistant Professor of Mathematics University of California, Los Angeles

NORMAN LEVINSON
Professor of Mathematics Massachusetts Institute of Technology

McGRAW-HILL BOOK COMPANY, INC.

New York Toronto London 1955

ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО Б. М. Левитана

ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Москва — 1958

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика
Из предисловия авторов

Глава I. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ
§ 1. Существование решений
§ 2. Единственность решений
§ 3. Метод последовательных приближений
§ 4. Продолжение решений
§ 5. Системы дифференциальных уравнений
§ 6. Уравнение порядка II
§ 7. Зависимость решений от начальных данных и параметров
§ 8. Комплексные системы
Задачи

Глава II. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Расширение понятия решения. Верхние и нижние решения
§ 2. Уточнения теорем единственности
§ 3. Единственность и последовательные приближения
§ 4. Зависимость решений от начальных данных и параметров
Задачи

Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Предварительные определения и обозначения
§ 2. Линейные однородные системы
§ 3. Неоднородные линейные системы
§ 4. Линейные системы с постоянными коэффициентами
§ 5. Линейные системы с периодическими коэффициентами
§ 6. Линейные дифференциальные уравнения порядка II
§ 7. Линейные уравнения с аналитическими коэффициентами
§ 8. Асимптотическое поведение решений некоторых линейных систем
Задачи

Глава IV. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ. ОСОБЕННОСТИ ПЕРВОГО РОДА
§ 1. Введение
§ 2. Классификация особенностей
§ 3. Формальные решения
§ 4. Строение фундаментальных матриц
§ 5. Уравнение порядка II
§ 6. Особенности в бесконечности
§ 7. Пример. Уравнение второго порядка
§ 8. Метод Фробениуса
Задачи

Глава V. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ. ОСОБЕННОСТИ ВТОРОГО РОДА
§ 1. Введение
§ 2. Формальные решения
§ 3. Асимптотические ряды
§ 4. Существование решений, которые имеют своими асимптотическими разложениями формальные решения. Действительный случай
§ 5. Асимптотическая природа формального решения в комплексном случае
§ 6. Случай, когда матрица Д, имеет кратные характеристические корни
§ 7. Иррегулярные особые точки уравнения порядка II
§ 8. Интеграл Лапласа и асимптотические ряды
Задачи

Глава VI. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ БОЛЬШОЙ ПАРАМЕТР
§ 1. Введение
§ 2. Формальные решения
§ 3. Асимптотическое поведение решений
§ 4. Случай равных характеристических корней
§ 5. Уравнение порядка II
Задачи

Глава VII. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО ИНТЕРВАЛА
§ 1. Введение
§ 2. Самосопряженные задачи на собственные значения
§ 3. Существование собственных значении
§ 4. Теоремы разложения и полноты
Задачи

Глава VIII. ТЕОРЕМЫ ОСЦИЛЯЦИИ И СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Теоремы сравнения
§ 2. Существование собственных значений
§ 3. Периодические краевые условия
§ 4. Области устойчивости для уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами
Задачи

Глава IX. СИНГУЛЯРНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Введение
§ 2. Случаи предельной точки и предельного круга
§ 3. Теоремы полноты и разложения в случае предельной точки в бесконечности
§ 4. Случай предельного круга в бесконечности
§ 5. Сингулярное поведение на обоих концах интервала
Задачи

Глава X. СИНГУЛЯРНЫЕ САМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПОРЯДКА II
§ 1. Введение
§ 2. Теорема разложения и равенство Парсеваля
§ 3. Теорема обратного преобразования и единственность спектральной матрицы
§ 4. Функция Грина
§ 5. Представление спектральной матрицы при помощи функции Грина
Задачи

Глава XI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВАЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ
§ 1. Введение
§ 2. Формула краевых форм
§ 3. Однородные краевые задачи и сопряженные задачи
§ 4. Неоднородные краевые задачи и функция Грина
Задачи

Глава XII. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Введение
§2. Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = —х"
§ 3. Функция Грина и теорема разложения для случая Lx = — х" ++ q(t)x
§ 4. Случай уравнения порядка II
§ 5. Характер разложения
Задачи

Глава XIII. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 1. Асимптотическая устойчивость
§ 2. Первая вариация. Устойчивость траекторий (орбитальная устойчивость)
§ 3. Асимптотическое поведение одной системы
§ 4. Условная устойчивость
§ 5. Поведение решений вне устойчивого многообразия
Задачи

Глава XIV. ВОЗМУЩЕНИЯ СИСТЕМ, ИМЕЮЩИХ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
§ 1. Неавтономные системы
§ 2. Автономные системы
§ 3. Возмущение линейной системы с периодическим решением в неавтономном случае
§ 4. Возмущение автономной системы с обращающимся в нуль якобианом
Задачи

Глава XV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДВУМЕРНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Двумерные линейные системы
§ 2. Возмущения двумерной линейной системы
§ 3. Правильные узлы и правильные фокусы
§ 4. Центры
§ 5. Неправильные узлы
§ 6. Седла
Задачи

Глава XVI. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ—БЕНДИКСОНА ДВУМЕРНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Предельные множества траектории
§ 2. Теорема Пуанкаре—Бендиксона
$3. Предельные множества с особыми точками
§ 4. Индекс изолированной особой точки
§ 5. Индекс простой особой точки
Задачи

Глава XVII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ТОРЕ
§ 1. Введение
§ 2. Числа вращения
§ 3. Производное множество
§ 4. Эргодический случай
§ 5. Характеристика решений в эргодическом случае
§ 6. Система двух уравнений

Литература
Указатель обозначений
Предметный указатель

АННОТАЦИЯ

В книге американских математиков Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений» дается оригинальное, содержащее ряд новых результатов изложение современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Представлены следующие разделы: теоремы существования и единственности, линейные уравнения, аналитическая теория дифференциальных уравнений, асимптотика, задачи на собственные значения, теория возмущений, теория Пуанкаре — Бендиксона и теория дифференциальных уравнений на торе.

Книга будет очень полезна всем математикам, физикам и инженерам, так или иначе соприкасающимся с дифференциальными уравнениями.

Редакция литературы по математическим наукам Заведующий редакцией Б. В. ШАБАТ

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА

Книга Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона содержит подробное изложение разнообразных разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Наряду с традиционными разделами этой теории, например таким и, как теоремы существования и единственности или теория линейных систем, авторы дают довольно подробное изложение аналитической теории дифференциальных уравнений, теории самосопряженных краевых задач как для конечного, так и для бесконечного интервала, а также введение в теорию несамосопряженных краевых задач.

Перечисленные разделы составляют содержание глав с I по XII включительно и, по существу, образуют первую часть книги, посвященную линейным уравнениям. Вторая часть книги, именно главы с XIII по XVII, посвящена нелинейной теории. Здесь изучается устойчивость решений, периодические решения и теория возмущения систем, имеющих периодическое решение, качественная теория систем второго порядка (включая теорию Пуанкаре—Бендиксона) и, наконец, теория уравнений на торе. Более подробное представление о содержании книги читатель может получить из оглавления.

Книга содержит много новинок. Большой интерес представляет систематическое применение в аналитической теории дифференциальных уравнений понятия формального решения. Спектральная теория самосопряженных дифференциальных уравнений изложена независимо от теории операторов в пространстве Гильберта. К каждой главе приложено большое число задач; при этом наряду с легкими имеются также задачи значительной трудности. В большинстве случаев трудные задачи сопровождаются указаниями авторов, облегчающими их решение. Следует заметить, что решения многих задач можно найти в журнальных статьях, однако авторы в таких случаях ссылок на литературу не дают.

Книга является хорошим введением в большое число важных разделов теории обыкновенных дифференциальных уравнений и может быть использована в качестве учебного пособия для студентов и аспирантов физико-математических факультетов, а также может оказаться полезной для научных работников.
Б. М. Левитан

Скачать книгу Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва, Издательство Иностранной литературы, 1958